#1
한 변에 총 11그루의 나무를 심을 수 있다.
하지만 꼭짓점에서 한번씩 겹치게 되므로
$$11 * 4 - 4 = 40$$
총 40그루의 나무를 심을 수 있다.
#2
$B * A$의 일의 자리가 7이 되어야 하므로 나올 수 있는 경우는 (1, 7) 혹은 (3, 9).
$$39 * 93 = 3627$$
A와 B의 합은 12이다.
#3
삼각형은 다른 도형과 변당 2번씩 교차할 수 있다.
따라서 문제의 도형은 오각형이고, $2 * 5 = 10$으로 총 10번 교차하게 된다.
#4
5로 나누어서 몫이 3인 수는 15~19로 총 5개이고, 또 A ◎ 4가 15~19가 되는 경우는 20가지가 되므로 A가 될 수 있는 자연수의 개수는 총 20개가 된다.
#5
출발점에서 벽까지의 거리가 30cm이고 반지름이 10cm이므로 20cm 이동하고 장애물 위로는 대략 30cm 이동하게 된다.
장애물 위를 이동할 때 약 50cm 이동하고, 내려갈 때 20cm, 약 30cm 이동하게 되어 합 150cm 정도 이동한다고 생각할 수 있지만 장애물 위로 이동할 때 부채꼴 > 같은 형태로 이동하므로 150cm 보다는 적다.
따라서 이동한 거리는 140cm 이상 150cm미만이다.
#6
$$A < B$$
$$C < D$$
$$A < D$$
$$C < B / A + B < C + D$$
$$B + C < A + D$$
E는 가장 큰 값이 될 수 없기에 취급하지 않는다.
$$A + B < C + D$$
$$B + C < A + D$$
$$B < D$$
키가 가장 큰 사람은 D.
#7
$$120 / 100 * 120 / 100$$
총 44%가 올랐다.
#8
갑이 참말쟁이라 했을 때 을 또한 참말쟁이이다.
갑이 거짓말쟁이라 했을 때 을은 참말쟁이이다.
갑은 알 수 없고 을은 참말쟁이가 확정이다.
#9
최선의 경우는 각 색의 공을 4개씩 뽑은 뒤 나머지 공 하나를 뽑는 경우이다.
$$3 * 4 + 1 = 13$$
#10
갑이 범인이라면 거짓말을 하는 사람은 갑, 을, 병.
을이 범인이라면 을의 말에 모순.
병이 범인이라면 병의 말에 모순.
범인은 갑이며 거짓말은 모두가 하고 있다.
#11
대각선을 기준으로 줄을 나누면 13개의 줄이 나온다.
다만 한 칸만 포함하는 대각선 중에 하나에만 비숍을 놓을 수 있다.
13개 이상은 놓을 수 없다.
12개 놓는 경우를 찾으면 12개라는 것을 알 수 있다.
#12
n석이 있는 소극장이 있을 때,
n = 1 이면 첫 번째 사람이 마지막 사람이므로 1
n = 2 이면 첫 번째 사람이 자기자리에 않으면 되므로 $\frac{1}{2}$
n = 3 이면 첫 번째 사람이 앉는 방법은 세 가지 경우이다.
- 자기 자리에 앉을 경우: $\frac{1}{3}$
- 두 번째 사람의 자리에 앉을 경우: $\frac{1}{3}$
- 마지막 사람의 자리에 앉을 경우: $\frac{1}{3}$
1번인 경우에는 무조건 마지막 사람이 자기 자리에 앉고, 2번 경우에는 두 번째 사람이 두 자리 중에 자기자리에 앉으면 되므로 1/2, 3번 경우에는 마지막 사람은 자기 자리에 앉을 수 없다.
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
$\frac{1}{2}$ 확률로 마지막 사람이 자기자리에 앉는다.
$N > 3$ 이면 첫 번째 사람이 앉는 방법은 네 가지 경우다.
- 자기자리에 앉을 경우: $\frac{1}{n}$
- 두 번째 사람의 자리에 앉을 경우: $\frac{1}{n}$
- 마지막 사람의 자리에 앉을 경우: $\frac{1}{n}$
- 나머지 경우: $\frac{(n-3)}{n}$
1번은 확정, 3번은 확정적이게 안된다.
2번은 두 번째 사람이 n-1개의 자리에서 첫 번재 사람의 자리에 앉으면 되기 때문에 n-1일 때의 답과 같다.
4번도 결과적으로 n-1일 때의 답과 같다.
$$f(n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} * \frac{1}{2} + \frac{(n-3)}{n} * \frac{1}{2}$$
$$f(50) = \frac{1}{2}$$